Beugungsbild von Nadel und Spalt

Auf dieser Seite wird es komplementär und doch ganz ähnlich …

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Das Babinetsche Theorem

Diesen Text habe ich 2010 für die Wikipedia verfasst.

Das Babinetsche Prinzip (auch Babinetsches Theorem genannt) ist ein Satz aus der Optik, der besagt, dass die Beugungsbilder zweier zueinander komplementärer Blenden (beispielsweise eine Spaltblende und ein Draht gleicher Dicke) außerhalb des Bereiches, in den die geometrisch-optischen Abbildung fällt, gleich sind. (Die geometrisch-optische Abbildung ist die Abbildung, die man erhält, wenn man die Beugungseffekte vernachlässigt.)

Erläuterung und Anwendung

Im einfachen Bild der geometrischen Optik breiten sich Lichtstrahlen geradlinig aus. Tatsächlich kann es jedoch durch Beugung zur Ablenkung des Lichtes kommen, beispielsweise wenn das Licht durch eine Blende fällt. An den Rändern der Blende werden die Lichtwellen gebeugt und Interferenz zwischen den gebeugten Lichtwellen führt zu Beugungserscheinungen, d. h., das Bild der Blende auf einem Schirm weicht von dem ab, was man für einen rein geometrisch-optischen Strahlenverlauf erwarten würde. Das Bild auf einem Schirm, das bei einem rein geometrisch-optischen Strahlenverlauf (also ohne Beugungseffekte) entstehen würde, soll im Folgenden mit „geometrisch-optischer Abbildung“ bezeichnet werden.

Das von Jacques Babinet (1794–1872) 1837 aufgestellte Prinzip besagt nun, dass zueinander komplementäre Blenden – also Blenden, bei denen Öffnungen und undurchsichtige Bereiche vertauscht sind – außerhalb des Bereiches, den die geometrisch-optische Abbildung einnehmen würde, die gleichen Beugungserscheinungen erzeugen.

Bei komplementären Blenden sind Öffnungen und undurchsichtige Bereiche vertauscht: komplementär sind also z. B. ein Spalt und ein Draht, der genauso dick ist wie der Spalt breit, oder eine Kreisblende und ein Kreisplättchen gleichen Durchmessers. Das Babinetsche Prinzip erlaubt es daher, die Beugung an einem undurchsichtigen Hindernis auf die an einer Öffnung desselben Umrisses zurückzuführen (siehe Mondhof (Korona) – dort wird die Beugung an den Wassertropfen der Wolken auf die Beugung an einer Kreisblende zurückgeführt).

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Herleitung des Babinetschen Prinzips

Fällt ein Lichtstrahl auf einen Schirm, erzeugt er dort einen hellen Bereich. Da zwischen der Lichtquelle und dem Schirm kein Hindernis liegt, breitet sich der Strahl geradlinig – also ungebeugt – aus. Der helle Bereich auf dem Schirm entspricht daher der geometrisch-optischen Abbildung (Abbildung 1; oben).
Die Verteilung von Helligkeit und Dunkelheit auf dem Schirm entspricht einer Verteilung der Amplitude der Lichtwelle. Die Amplitude soll hier mit E0(x) bezeichnet werden. Im hellen Bereich ist die Amplitude groß, außerhalb des hellen Bereiches ist der Schirm dunkel, dort ist die Amplitude also null.
Nun sollen zwei komplementäre Blenden nacheinander in den Strahl eingebracht werden (beide Blenden zusammen sollen den Strahl vollständig verdecken), wie in Abbildung 1, Mitte und unten, dargestellt – und zwar ohne Berücksichtigung von Beugungseffekten.

Abb. 1 ¦ Komplementäre Blenden   Grafik der geometrisch-optischen Lichtausbreitung durch komplementäre Blenden
Bildunterschrift Geometrisch-optische Strahlausbreitung (d. h. ohne Beugung) durch komplementäre Blenden (schematisch)Bildunterschrift Ende

Sowohl die Lochblende als auch das undurchsichtige Hindernis erzeugen aber in Wirklichkeit natürlich ein Beugungsbild. Für diese Beugungsbilder von Lochblende und Hindernis kann die auf den Schirm fallende Amplitude jeweils in einen geometrischen und einen Beugungsanteil zerlegt werden:

(1) Eloch(x) = Elochgeo(x) + Elochbeug(x)

(2) Ehind(x) = Ehindgeo(x) + Ehindbeug(x)

Bedeutungen:
E(x) = Amplitudenverteilung auf dem Schirm; x = Koordinate längs des Schirms; loch = Lochblende; hind = zur Lochblende komplementäres Hindernis; geo = geometrischer Anteil; beug = Beugungsanteil

Da die eine Blende jeweils dasjenige Licht durchlässt, welches die andere ausschneidet, müssen beide Beugungsbilder zusammen wieder die geometrisch-optische Abbildung der Lichtquelle ohne Blende ergeben. Die Summe der Gesamtamplituden hinter der Lochblende und dem Hindernis Eloch(x) + Ehind(x) muss also gleich E0(x) sein:

(3) Eloch(x) + Ehind(x) = E0(x)

Die Summe der geometrischen Anteile beider Amplitudenverteilungen Elochgeo(x) + Ehindgeo(x) muss gleich dem geometrischen Anteil des Bildes ohne Blende sein – sie muss also ebenfalls gleich E0(x) sein, da es ohne Blende nur den geometrischen Anteil gibt:

(4) Elochgeo(x) + Ehindgeo(x) = E0(x)

Setzt man nun Gl. 1 und 2 in Gl. 3 ein, erhält man:

(5) Eloch(x) + Ehind(xtrotzdem) = Elochgeo(x) + Elochbeug(x) + Ehindgeo(x) + Ehindbeug(x) = E0(x)

Mit Gl. 4 ergibt sich:

E0(x) + Elochbeug(x) + Ehindbeug(x) = E0(x)

und damit:

Elochbeug = –Ehindbeug

Die Anteile der Amplituden, die auf die Beugung entfallen, sind für Lochblende und Hindernis also gleich groß, haben aber entgegengesetztes Vorzeichen – die Amplitudenverteilung der Lochblende ist demnach außerhalb der geometrisch-optischen Abbildung entgegengesetzt zu derjenigen des komplementären Hindernisses: Wo die Lochblende eine negative Amplitude erzeugt, ergibt das Hindernis eine betragsmäßig gleich große positive Amplitude und umgekehrt.
Überlagern sich zwei Amplituden, die gleich groß sind, aber entgegengesetztes Vorzeichen haben, ist die Amplitude der Gesamtwelle null, es kommt zur Auslöschung. Überlagert man also die Amplitudenverteilungen beider komplementärer Blenden, erhält man (außerhalb der geometrisch-optischen Abbildung) Auslöschung, und damit Dunkelheit, wie man es für den Fall erwartet, in dem es überhaupt keine Blenden gibt.
Die Überlagerung der Amplituden hinter den beiden komplementären Blenden ergibt also die Amplitudenverteilung der Anordnung ohne Blenden.

Abb. 2 ¦ Babinet sichtbar gemacht   Foto der Beugungsbilder von Spalt und Nadel
Bildunterschrift Beugungsbilder einer Stecknadel und eines Spaltes zwischen zwei Rasierklingen, dessen Breite mithilfe der Stecknadel erzeugt wurde. Beleuchtet wurde mit einem roten Laserpointer. Wegen der Ungenauigkeit, mit der die Breite von Spalt und Nadel (nicht) in Übereinstimmung gebracht werden konnten, weichen die Positionen der Maxima voneinander ab.)Bildunterschrift Ende

Für die Wahrnehmung der Beugungsbilder ist nun aber nicht die Amplitude entscheidend, sondern die Intensität. Die Intensität des Lichtes ist proportional zum Quadrat der Amplitude – für die Intensität der Beugungsmaxima ist es also gleichgültig, ob die Amplitude positiv oder negativ ist, es kommt nur auf ihre betragsmäßige Größe an. Erzeugt die Lochblende an einer Stelle eine große positive Amplitude, sorgt die komplementäre Blende an derselben Stelle für eine betragsmäßig gleich große negative Amplitude – und beide haben dieselbe Intensität zur Folge.
Aus diesem Grund sind die Beugungsbilder von Lochblende und Hindernis außerhalb der geometrisch-optischen Abbildung gleich.

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Fraunhofer-Beugung

Das Babinetsche Theorem gilt sowohl für Fresnel- als auch für Fraunhofer-Beugung. Bei der Fraunhofer-Beugung befindet sich die Lichtquelle in unendlich großer Entfernung, d. h., die Lichtquelle muss hinreichend klein und der Abstand zwischen ihr und dem Beobachtungsschirm hinreichend groß sein (bzw. Lichtquelle und Schirm müssen durch Linsen in unendliche Entfernung „gerückt“ werden). Im Fall einer annähernd punktförmigen Lichtquelle wird auch der Bereich der geometrisch-optischen Abbildung sehr klein und spielt im Beugungsbild kaum eine Rolle. Damit sehen bei der Fraunhofer-Beugung die Beugungsbilder der komplementären Blenden insgesamt (fast) gleich aus. (Daher ist es gerechtfertigt, die bei der Entstehung der Korona maßgebliche Beugung an Wassertropfen durch eine Beugung an Kreisblenden zu ersetzen.)

© Wiebke Salzmann, August 2013

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